2

හැඳින්වීම

මෙම පාඩම, 16 වන පාඩමේදී ඉගෙනගත් සමාන්තරාස්‍ර ගුණාංගවල විලෝමයයි. එනම්, යම් චතුරස්‍රයක් සමාන්තරාස්‍රයක් බව සාධනය කරන්නේ කෙසේද යන්න මෙහිදී ඉගෙන ගනී. ජ්‍යාමිතිය ගැටලුවකදී, "ABCD සමාන්තරාස්‍රයක් බව පෙන්වන්න" වැනි ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරු දීමට මෙම පාඩමේ ප්‍රමේයයන් අත්‍යවශ්‍ය වේ.

කෙටි සටහන් (Short Notes)

චතුරස්‍රයක් සමාන්තරාස්‍රයක් වීමට සපුරාලිය යුතු අවශ්‍යතා (ප්‍රමේයයන්): පහත සඳහන් කොන්දේසි 4න් එකක් සත්‍ය බව පෙන්වීමෙන්, ඕනෑම චතුරස්‍රයක් සමාන්තරාස්‍රයක් බව සාධනය කළ හැක.

• අවශ්‍යතාව 1: චතුරස්‍රයක සම්මුඛ පාද යුගල දෙකම දිගින් සමාන නම්, එය සමාන්තරාස්‍රයකි.

• (AB = DC සහ AD = BC නම්, ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි).

• අවශ්‍යතාව 2: චතුරස්‍රයක සම්මුඛ කෝණ යුගල දෙකම විශාලත්වයෙන් සමාන නම්, එය සමාන්තරාස්‍රයකි.

• (DÂB = DĈB සහ AĈB = AĈB නම්, ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි).

• අවශ්‍යතාව 3: චතුරස්‍රයක විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය වේ නම්, එය සමාන්තරාස්‍රයකි.

• (විකර්ණ O හිදී කැපේ නම්, AO = OC සහ BO = OD නම්, ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි).

• අවශ්‍යතාව 4: චතුරස්‍රයක එක් සම්මුඛ පාද යුගලයක් දිගින් සමාන සහ සමාන්තර වේ නම්, එය සමාන්තරාස්‍රයකි.

• (AB = DC සහ AB || DC නම්, ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි).

මතක තබා ගත යුතු වැදගත් කරුණු (Important Points)

• ගුණාංග සහ අවශ්‍යතා අතර වෙනස:

• ගුණාංග (පාඩම 16): චතුරස්‍රය සමාන්තරාස්‍රයක් බව දැනටමත් දන්නා විට භාවිතා කරයි.

• අවශ්‍යතා (මෙම පාඩම): චතුරස්‍රයක් සමාන්තරාස්‍රයක් බව ඔප්පු කිරීමට භාවිතා කරයි.

• අවශ්‍යතාව 4 හි නිරවද්‍යතාව: එකම පාද යුගලය සමාන සහ සමාන්තර බව පෙන්විය යුතුය. එක් පාද යුගලයක් සමාන බවත්, අනෙක් පාද යුගලය සමාන්තර බවත් පෙන්වීම ප්‍රමාණවත් නොවේ.

• ත්‍රිකෝණ අංගසාම්‍යය: මෙම අවශ්‍යතා බොහොමයක් ඔප්පු කිරීමේදී, මුලින්ම ත්‍රිකෝණ දෙකක් අංගසම බව පෙන්වා, ඉන් ලැබෙන ප්‍රතිඵල (සමාන පාද හෝ සමාන කෝණ) භාවිතා කිරීමට සිදුවේ.

විභාග උපක්‍රම (Tips & Tricks)

• දත්ත විශ්ලේෂණය කරන්න: ගැටලුවේ දී ඇති තොරතුරු මොනවාදැයි බලන්න.

• පාදවල දිග ගැන තොරතුරු දී ඇත්නම් -> අවශ්‍යතාව 1 හෝ 4 භාවිතා කිරීමට සිතන්න.

• කෝණ ගැන තොරතුරු දී ඇත්නම් -> අවශ්‍යතාව 2 භාවිතා කිරීමට සිතන්න.

• විකර්ණ ගැන තොරතුරු දී ඇත්නම් -> අවශ්‍යතාව 3 භාවිතා කිරීමට සිතන්න.

• සමාන්තර බව දී ඇත්නම් -> අවශ්‍යතාව 4 භාවිතා කිරීමට සිතන්න.

• පියවරෙන් පියවර සාධනය: ඔබ ඔප්පු කිරීමට බලාපොරොත්තු වන අවශ්‍යතාවය කුමක්දැයි පළමුව තීරණය කරන්න. ඉන්පසු එම අවශ්‍යතාවය සපුරාලීමට අවශ්‍ය පියවර (උදා: ත්‍රිකෝණ අංගසම කිරීම) අනුපිළිවෙලින් ලියන්න.

• නිගමනය: ඔබ තෝරාගත් අවශ්‍යතාවය සපුරාලූ පසු, "එබැවින්, ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි" යනුවෙන් නිගමනය ලිවීමට අමතක නොකරන්න.

නිදසුන් ගැටලුව (Example Problem)

ගැටලුව: ABCD චතුරස්‍රයේ AC සහ BD විකර්ණ O හිදී එකිනෙක කැපේ. AO = OC සහ BO = OD වේ. ABCD සමාන්තරාස්‍රයක් බව සාධනය කරන්න.

විසඳුම:

ක්‍රමය: ත්‍රිකෝණ අංගසාම්‍යය භාවිතයෙන් සම්මුඛ පාද සමාන්තර සහ සමාන බව පෙන්වීම.

AOB හා COD ත්‍රිකෝණ සලකමු.

1. AO = OC (දත්තය)

2. BO = OD (දත්තය)

3. AÔB = CÔD (ප්‍රතිමුඛ කෝණ)

එබැවින්, AOB∆ ≡ COD∆ (පා.කෝ.පා. අවස්ථාව).

අංගසම ත්‍රිකෝණවල අනුරූප අංග සමාන නිසා,

• AB = DC (අ.ත්‍රි.අ.අ.ස.)

• BÂO = DĈO (අ.ත්‍රි.අ.අ.ස.)

BÂO සහ DĈO යනු AB සහ DC රේඛා AC තීර්යක් රේඛාවෙන් කැපීමේදී සෑදෙන ඒකාන්තර කෝණ වේ. ඒකාන්තර කෝණ සමාන නිසා, AB || DC වේ.

දැන් ABCD චතුරස්‍රයේ, AB සහ DC සම්මුඛ පාද යුගලය දිගින් සමාන (AB = DC) මෙන්ම සමාන්තර (AB || DC) ද වේ.

එබැවින්, ABCD යනු සමාන්තරාස්‍රයකි (චතුරස්‍රයක එක් සම්මුඛ පාද යුගලයක් සමාන හා සමාන්තර වේ නම්).