3

කෙටි සටහන්

මෙම පාඩම ප්‍රධාන ප්‍රමේයයන් තුනක් සහ ඒවායේ යෙදීම් වටා ගොඩනැගී ඇත.

1. ස්පර්ශකයක් යනු කුමක්ද?

• වෘත්තයක්, එක් ලක්ෂ්‍යයකදී පමණක් හමුවන සේ අඳිනු ලබන සරල රේඛාවක් එම වෘත්තයේ ස්පර්ශකයක් වේ. එම ලක්ෂ්‍යය ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය ලෙස හැඳින්වේ.

1. ප්‍රමේයය 1: ස්පර්ශකය සහ අරය අතර සම්බන්ධය

• වෘත්තයක ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී අඳිනු ලබන අරය, එම ස්පර්ශකයට ලම්බ වේ.

• සරලව: ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී අරය සහ ස්පර්ශකය අතර කෝණය කි.

• විලෝමය: වෘත්තයක අරයක අග්‍ර ලක්ෂ්‍යයකදී එම අරයට ලම්බකව අඳින රේඛාව, එම ලක්ෂ්‍යයේදී වෘත්තයට ස්පර්ශකයක් වේ.

1. ප්‍රමේයය 2: බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට අඳින ස්පර්ශක

• වෘත්තයකට බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්පර්ශක දෙකක් ඇඳිය හැක. මෙම ස්පර්ශක සඳහා:

1. ස්පර්ශක දෙක දිගින් සමාන වේ. (ගැටලු විසඳීමේදී සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ නිර්මාණය වේ.)

2. බාහිර ලක්ෂ්‍යය සහ වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය යා කරන රේඛාව, ස්පර්ශක දෙක අතර කෝණය සමච්ඡේදනය කරයි.

3. ස්පර්ශක මගින් වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයෙහි සමාන කෝණ ආපාතනය කරයි.

4. ප්‍රමේයය 3: ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය

• වෘත්තයක ස්පර්ශකයක් සහ ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය හරහා අඳින ලද ජ්‍යායක් අතර සෑදෙන කෝණය, ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩයේ පිහිටි කෝණවලට සමාන වේ.

• මෙය ගැටලු විසඳීමේදී ඉතා ප්‍රබල ප්‍රමේයයකි.

විභාගයට වැදගත් කරුණු

• I වන ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ සහ II වන ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ජ්‍යාමිතිය ගැටලුවල අනිවාර්යයෙන්ම පාහේ මෙම ප්‍රමේයයන් එකක් හෝ කිහිපයක් යෙදීමට පැමිණේ.

• ගැටලු වර්ග:

1. ස්පර්ශකය සහ අරය ලම්බක වීම (90∘) සහ පයිතගරස් ප්‍රමේයය යොදා දිග සෙවීමේ ගැටලු.

2. බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ඇඳි ස්පර්ශකවල ගුණ (සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ, කෝණ සමච්ඡේදනය) භාවිතයෙන් කෝණ හෝ දිග සෙවීම.

3. ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් කෝණ සෙවීම.

4. මෙම ප්‍රමේයයන්, වෘත්ත චතුරස්‍ර, කේන්ද්‍රයේ කෝණය, එකම ඛණ්ඩයේ කෝණ වැනි අනෙකුත් ප්‍රමේයයන් සමඟ සම්බන්ධ කර අසන සාධන ගැටලු.

ඉඟි සහ කෙටි ක්‍රම

• 90∘ කෝණය සොයන්න: ගැටලුවක ස්පර්ශකයක් දුටු විගස, ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යය සහ කේන්ද්‍රය යා කර ලම්බක කෝණය (90∘) ලකුණු කරගන්න. මෙය බොහෝවිට ගැටලුව විසඳීමට ඇති විශාලම ඉඟියයි.

• සමද්විපාද ත්‍රිකෝණ හඳුනාගන්න:

• බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ඇඳි ස්පර්ශක දෙක සහ එම ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍ය යා කරන ජ්‍යායෙන් සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයක් සෑදේ.

• කේන්ද්‍රය සහ ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍ය දෙක යා කිරීමෙන් සෑදෙන්නේ ද අරයන් දෙකක් පාද වන සමද්විපාද ත්‍රිකෝණයකි.

• ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය යෙදීම:

• ස්පර්ශකය සහ ජ්‍යාය අතර කෝණය හඳුනාගන්න.

• එම ජ්‍යායෙන් වෙන්වන අනෙක් පැත්තේ (ඒකාන්තර) වෘත්ත කොටසේ, එම ජ්‍යායෙන් ආපාතනය කරන ඕනෑම කෝණයක් ඊට සමාන වේ.

• හේතු ලිවීම: ජ්‍යාමිතියේදී සෑම පියවරක් සඳහාම අදාළ ප්‍රමේයය වරහන් තුළ පැහැදිලිව ලිවීමෙන් ලකුණු අහිමි වීම වළක්වා ගන්න.

• උදා: (ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී අරය ස්පර්ශකයට ලම්බ වේ)

• උදා: (බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට ඇඳි ස්පර්ශක දිගින් සමාන වේ)

• උදා: (ඒකාන්තර වෘත්ත ඛණ්ඩ ප්‍රමේයය)

මතක තබා ගත යුතු දේවල්

• ප්‍රමේය 1: අරය ⊥ ස්පර්ශකය (90∘)

• ප්‍රමේය 2: බාහිර ලක්ෂ්‍යයක සිට අඳින ස්පර්ශක දිගින් සමානයි.

• ප්‍රමේය 3: ස්පර්ශකය සහ ජ්‍යාය අතර කෝණය = ඒකාන්තර ඛණ්ඩයේ කෝණය.

බොහෝ ජ්‍යාමිතිය ගැටලුවලදී, රූපයේ දී නොමැති අරයන් හෝ වෙනත් රේඛා ඇඳීමෙන් (නිර්මාණයක් කිරීමෙන්) ගැටලුව විසඳීමට අවශ්‍ය ත්‍රිකෝණ නිර්මාණය කරගත හැකිය.