2

හැඳින්වීම

ප්‍රස්තාර යනු O/L ගණිත විභාගයේ II වන ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ අනිවාර්යයෙන්ම එන, ලකුණු 10ක් සහතික කරගත හැකි කොටසකි. මෙහිදී ප්‍රධාන වශයෙන් y = ax² + b ආකාරයේ වර්ගජ ශ්‍රිතයක ප්‍රස්තාරය ඇඳීම සහ එය විශ්ලේෂණය කිරීමේ හැකියාව පරීක්ෂා කෙරේ. නිවැරදිව ලකුණු ලකුණු කිරීම, සුමට වක්‍රයක් ඇඳීම සහ ප්‍රස්තාරයෙන් තොරතුරු ලබාගැනීම සඳහා හොඳ පුහුණුවක් අවශ්‍ය වේ.

කෙටි සටහන් (Short Notes)

1. සරල රේඛීය ප්‍රස්තාර (y = mx + c):

• අනුක්‍රමණය (m): ප්‍රස්තාරයේ නැඹුරුව. ලක්ෂ්‍ය දෙකක් (x₁, y₁) සහ (x₂, y₂) දන්නේ නම්, m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) සූත්‍රයෙන් සෙවිය හැක.

• අන්තඃඛණ්ඩය (c): ප්‍රස්තාරය y අක්ෂය ඡේදනය කරන ලක්ෂ්‍යයයි.

2. වර්ගජ ශ්‍රිත ප්‍රස්තාර (y = ax² + b):

• හැඩය: මෙම ප්‍රස්තාරය පරාවලයක් (parabola) ලෙස හැඳින්වේ.

• a හි ලකුණ සහ හැඩය:

• a ධන (a > 0) නම්, ප්‍රස්තාරයට අවම ලක්ෂ්‍යයක් ඇති අතර, එය 'U' හැඩයක් ගනී.

• a සෘණ (a < 0) නම්, ප්‍රස්තාරයට උපරිම ලක්ෂ්‍යයක් ඇති අතර, එය 'n' හැඩයක් ගනී.

• හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (Turning Point): ප්‍රස්තාරයේ උපරිම හෝ අවම ලක්ෂ්‍යයයි. y = ax² + b ආකාරයේ ප්‍රස්තාරයක හැරුම් ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක (0, b) වේ.

• උපරිම/අවම අගය: ශ්‍රිතයේ උපරිම හෝ අවම y අගයයි. මෙය හැරුම් ලක්ෂ්‍යයේ y ඛණ්ඩාංකයට, එනම් b ට සමාන වේ.

• සමමිති අක්ෂය (Axis of Symmetry): පරාවලය සමමිතිකව දෙකට බෙදන රේඛාවයි. y = ax² + b ආකාරයේ ප්‍රස්තාරයක සමමිති අක්ෂය y අක්ෂය වන අතර, එහි සමීකරණය x = 0 වේ.

මතක තබා ගත යුතු වැදගත් කරුණු (Important Points)

• අගය වගුව: ප්‍රස්තාරය ඇඳීමට පෙර දෙන ලද x අගයන් සඳහා y අගයන් නිවැරදිව ගණනය කළ යුතුය. සෘණ x අගයන් වර්ග කිරීමේදී විශේෂයෙන් සැලකිලිමත් වන්න (උදා: (-3)² = +9).

• පරිමාණය: ප්‍රශ්නයේ දී ඇති පරිමාණයට අනුව අක්ෂ දෙක නිවැරදිව ලකුණු කරන්න.

• සුමට වක්‍රය: ලකුණු කළ ලක්ෂ්‍ය යා කිරීමේදී අඩිරූලක් භාවිතා නොකර, සුමට වක්‍රයක් ලෙස අතින් අඳින්න.

• ලේබල් කිරීම: අක්ෂ (x, y), මූල ලක්ෂ්‍යය (O) සහ ප්‍රස්තාරයේ සමීකරණය පැහැදිලිව ලකුණු කරන්න.

විභාග උපක්‍රම (Tips & Tricks)

• සමමිතිය පරීක්ෂා කරන්න: y = ax² + b ප්‍රස්තාරයක, x = 2 සඳහා ලැබෙන y අගයම x = -2 සඳහා ද ලැබිය යුතුය. අගය වගුව සම්පූර්ණ කළ පසු මෙම සමමිතිය පරීක්ෂා කිරීමෙන් ඔබගේ ගණනය කිරීම් නිවැරදි දැයි තහවුරු කරගත හැක.

• ප්‍රස්තාරයෙන් අගයන් සෙවීම:

• y හි අගයක් දී x හි අගය සෙවීමට, y අක්ෂයේ එම අගයෙන් ප්‍රස්තාරයට තිරස් රේඛාවක් ඇඳ, එය වක්‍රය හමුවන ස්ථානවල සිට x අක්ෂයට සිරස් රේඛා ඇඳ අගයන් කියවන්න.

• ax² + b = 0 සමීකරණයේ මූල යනු, ප්‍රස්තාරය x අක්ෂය (y=0 රේඛාව) ඡේදනය කරන x අගයන් වේ.

• ශ්‍රිතය වැඩි/අඩු වන පරාස:

• ශ්‍රිතය වැඩිවන පරාසය: x වැඩිවන විට y ද වැඩිවන කොටස.

• ශ්‍රිතය අඩුවන පරාසය: x වැඩිවන විට y අඩුවන කොටස.

නිදසුන් ගැටලුව (Example Problem)

ගැටලුව: y = x² - 3 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය -3 ≤ x ≤ 3 පරාසය තුළ අඳින්න. (i) හැරුම් ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ලියන්න. (ii) සමමිති අක්ෂයේ සමීකරණය ලියන්න. (iii) x² - 3 = 0 සමීකරණයේ මූල, දශමස්ථාන එකකට සොයන්න.

විසඳුම:

1. අගය වගුව සම්පූර්ණ කිරීම: | x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | | x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | | -3 | -3 | -3 | -3 | -3 | -3 | -3 | -3 | | y | 6 | 1 | -2| -3| -2| 1 | 6 |

2. ප්‍රස්තාරය ඇඳීම:

• සුදුසු පරිමාණයකට අනුව අක්ෂ ලකුණු කර, ඉහත ඛණ්ඩාංක ලකුණු කර සුමට වක්‍රයකින් යා කරන්න.

1. ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු දීම:

• (i) හැරුම් ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක: ප්‍රස්තාරයේ අවම ලක්ෂ්‍යය (0, -3) වේ.

• (ii) සමමිති අක්ෂයේ සමීකරණය: x = 0 (y අක්ෂය).

• (iii) x² - 3 = 0 හි මූල: ප්‍රස්තාරය x අක්ෂය (y=0 රේඛාව) ඡේදනය කරන ස්ථාන දෙස බලන්න.

• ප්‍රස්තාරයෙන් කියවූ විට, මූල ආසන්න වශයෙන් x = 1.7 සහ x = -1.7 වේ.