2

හැඳින්වීම

කුලක පාඩම, O/L විභාගයේ I වන ප්‍රශ්න පත්‍රයේ මෙන්ම, II වන ප්‍රශ්න පත්‍රයේ සම්භාවිතාව වැනි ගැටලු විසඳීම සඳහා ද පදනම සපයයි. විශේෂයෙන්ම, වෙන් රූප සටහන් (Venn Diagrams) භාවිතයෙන් දෙන ලද තොරතුරු විශ්ලේෂණය කර ගැටලු විසඳීම මෙම පාඩමේදී ප්‍රධාන වේ. මෙය තර්කානුකූලව විසඳිය හැකි, පහසුවෙන් ලකුණු ලබාගත හැකි කොටසකි.

කෙටි සටහන් (Short Notes)

1. කුලකයක් නිරූපණය කරන ක්‍රම:

• විස්තර කිරීම: වචනයෙන් විස්තර කිරීම. (උදා: A = {10ට අඩු ඔත්තේ සංඛ්‍යා})

• අවයව ලැයිස්තුගත කිරීම: { } වරහන් තුළ අවයව ලිවීම. (උදා: A = {1, 3, 5, 7, 9})

• වෙන් රූප සටහන: රූපයක් මගින් කුලක සහ ඒවායේ සම්බන්ධතා දැක්වීම.

• කුලක ජනන ස්වරූපය (Set-builder Notation): වීජීයව කුලකයේ පොදු ලක්ෂණය දැක්වීම. (උදා: A = {x : x යනු ඔත්තේ සංඛ්‍යාවකි; 1 ≤ x < 10})

2. කුලක කර්ම සහ සංකේත:

• සර්වත්‍ර කුලකය (ε): සලකා බලන සියලුම අවයව අයත් වන කුලකය.

• උපකුලකය (⊂): එක් කුලකයක සියලුම අවයව තවත් කුලකයක අඩංගු වේ නම්.

• මේලය (Union - ∪): කුලක දෙකෙහිම ඇති සියලුම අවයව අයත් කුලකය. (A හෝ B)

• ඡේදනය (Intersection - ∩): කුලක දෙකටම පොදු අවයව පමණක් අයත් කුලකය. (A සහ B)

• අනුපූරකය ('): සර්වත්‍ර කුලකයට අයත්, නමුත් අදාළ කුලකයට අයත් නොවන අවයව. (උදා: A' යනු A ට අයත් නොවන අවයව)

3. කුලක දෙකක අවයව ගණන අතර සම්බන්ධය:

• සූත්‍රය: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

• n(A) = A කුලකයේ අවයව ගණන

• n(A ∪ B) = A හෝ B කුලකයට අයත් අවයව ගණන

• n(A ∩ B) = A සහ B කුලක දෙකටම පොදු අවයව ගණන

මතක තබා ගත යුතු වැදගත් කරුණු (Important Points)

• වෙන් රූප සටහන්: ගැටලු විසඳීමේදී, වෙන් රූපයේ එක් එක් කොටසට අදාළ අවයව ගණන මිස, අවයව මොනවාද යන්න ලිවීම අවශ්‍ය නොවේ.

• "පමණක්" යන වචනය: "A පමණක්" යනු A කුලකයට අයත්, නමුත් B කුලකයට අයත් නොවන කොටසයි. මෙය වෙන් රූපයේ A ∩ B කොටස හැර A හි ඉතිරි කොටසයි.

• වි disjoint sets (විසන්ධිත කුලක): කුලක දෙකකට පොදු අවයව නොමැති නම්, A ∩ B = ∅ (හිස් කුලකය) වන අතර, n(A ∩ B) = 0 වේ.

විභාග උපක්‍රම (Tips & Tricks)

• මැදින් පටන් ගන්න: වෙන් රූප සටහනක් සම්පූර්ණ කිරීමේදී, හැමවිටම කුලක දෙකටම පොදු කොටසෙන් (A ∩ B) පිරවීම ආරම්භ කරන්න. ඉන්පසු අනෙක් කොටස් සම්පූර්ණ කරන්න.

• සූත්‍රය සහ වෙන් රූපය: ඔබට n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) සූත්‍රය හෝ වෙන් රූප සටහනක් ඇඳීමෙන් ගැටලුව විසඳිය හැක. වෙන් රූපය ඇඳීමෙන් ගැටලුව වඩාත් පැහැදිලිව දැකගත හැක.

• පියවරෙන් පියවර: වචන ගැටලුවක් දුන් විට, එහි ඇති තොරතුරු වෙන් රූපයේ අදාළ කොටස්වලට ක්‍රමානුකූලව ඇතුළත් කරන්න.

නිදසුන් ගැටලුව (Example Problem)

ගැටලුව: පන්තියක සිසුන් 40 දෙනෙකුගෙන්, 25 දෙනෙකු ක්‍රිකට් ක්‍රීඩා කරන අතර, 20 දෙනෙකු පාපන්දු ක්‍රීඩා කරති. සිසුන් 10 දෙනෙකු ක්‍රීඩා දෙකම කරති. (i) මෙම තොරතුරු වෙන් රූප සටහනක දක්වන්න. (ii) ක්‍රිකට් පමණක් ක්‍රීඩා කරන සිසුන් ගණන කීයද? (iii) මෙම ක්‍රීඩා දෙකෙන් එකක්වත් නොකරන සිසුන් ගණන කීයද?

විසඳුම: C = ක්‍රිකට් ක්‍රීඩා කරන සිසුන්, F = පාපන්දු ක්‍රීඩා කරන සිසුන්

(i) වෙන් රූප සටහන:

1. මැදින් පටන් ගන්න: ක්‍රීඩා දෙකම කරන සිසුන් ගණන (C ∩ F) = 10. මෙය මැදට යොදන්න.

2. ක්‍රිකට් පමණක්: මුළු ක්‍රිකට් ක්‍රීඩකයින් 25කි. දෙකම කරන 10 දෙනා අඩු කළ විට, ක්‍රිකට් පමණක් කරන අය 25 - 10 = 15 කි.

3. පාපන්දු පමණක්: මුළු පාපන්දු ක්‍රීඩකයින් 20කි. දෙකම කරන 10 දෙනා අඩු කළ විට, පාපන්දු පමණක් කරන අය 20 - 10 = 10 කි.

4. කිසිවක් නොකරන අය: ක්‍රීඩා කරන මුළු සිසුන් ගණන = 15 (ක්‍රිකට් පමණක්) + 10 (දෙකම) + 10 (පාපන්දු පමණක්) = 35. මුළු සිසුන් 40ක් සිටින නිසා, එකක්වත් නොකරන අය 40 - 35 = 5 කි.

(ii) ක්‍රිකට් පමණක් ක්‍රීඩා කරන සිසුන් ගණන = 15

(iii) මෙම ක්‍රීඩා දෙකෙන් එකක්වත් නොකරන සිසුන් ගණන = 5