3

හැඳින්වීම

ජ්‍යාමිතිය ගැටලු වලදී වෘත්ත සම්බන්ධ ප්‍රමේයයන් ඉතා වැදගත් වේ. මෙම පාඩමේදී, වෘත්තයක ජ්‍යා සහ කේන්ද්‍රය අතර ඇති සම්බන්ධතා පිළිබඳ ප්‍රමේයයන් දෙකක් සහ ඒවායේ භාවිතය ඉගෙන ගනී. මෙම ප්‍රමේයයන්, පයිතගරස් ප්‍රමේයය සමග සම්බන්ධ කරමින් ගැටලු විසඳීමට බහුලව යොදා ගැනේ.

කෙටි සටහන් (Short Notes)

1. ජ්‍යායක් යනු කුමක්ද?

• වෘත්තයක් මත පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් ජ්‍යායක් ලෙස හැඳින්වේ.

• වෘත්තයක දිගම ජ්‍යාය එහි විෂ්කම්භයයි.

2. ජ්‍යා සම්බන්ධ මූලික ප්‍රමේයයන්:

• ප්‍රමේයය 1: වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායකට අඳින ලද ලම්බය, එම ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය කරයි (හරියටම සමාන කොටස් දෙකකට බෙදයි).

• ප්‍රමේයය 2 (ප්‍රමේය 1 හි විලෝමය): වෘත්තයක කේන්ද්‍රය සහ ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යා කරන සරල රේඛාව, එම ජ්‍යායට ලම්බ වේ.

මතක තබා ගත යුතු වැදගත් කරුණු (Important Points)

• සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය: මෙම ප්‍රමේයයන් දෙකම වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය, ජ්‍යාය සහ ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය අතර සෘජුකෝණී සම්බන්ධයක් ඇති කරයි.

• පයිතගරස් ප්‍රමේයය: ගැටලුවක් විසඳීමේදී, පහත සඳහන් අංග තුනෙන් සෑදෙන සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය සඳහා පයිතගරස් ප්‍රමේයය (a² + b² = c²) නිතරම භාවිතා වේ:

• කර්ණය: වෘත්තයේ අරය (r)

• එක් පාදයක්: ජ්‍යායෙන් අඩක දිග (l/2)

• අනෙක් පාදය: කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට ඇති ලම්බ දුර (d)

• r² = (l/2)² + d²

• සමාන ජ්‍යා:

• වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට සමාන දුරින් පිහිටි ජ්‍යා දිගින් සමාන වේ.

• දිගින් සමාන ජ්‍යා, වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට සමාන දුරින් පිහිටයි.

විභාග උපක්‍රම (Tips & Tricks)

• සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය අඳින්න: ජ්‍යායක් සම්බන්ධ ගැටලුවක් දුටු විගස, කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට ලම්බකයක් සහ ජ්‍යායේ එක් කෙළවරකට අරයක් ඇඳීමෙන් අවශ්‍ය සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය සම්පූර්ණ කරගන්න. මෙය ගැටලුව විසඳීමට අත්‍යවශ්‍යම පියවරයි.

• දත්ත ලකුණු කරන්න: ඔබ අඳින ලද සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයේ දන්නා පාදවල දිග ලකුණු කරන්න. ඉන්පසු නොදන්නා පාදය සෙවීමට පයිතගරස් ප්‍රමේයය යොදන්න.

• හේතු දැක්වීම: සාධනය කිරීමේදී, "වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට අඳින ලම්බයෙන් ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය වේ" වැනි අදාළ ප්‍රමේයයන් හේතු ලෙස පැහැදිලිව ලිවීමට අමතක නොකරන්න.

නිදසුන් ගැටලුව (Example Problem)

ගැටලුව: අරය 10 cm වූ වෘත්තයක, කේන්ද්‍රයේ සිට 6 cm දුරින් පිහිටි ජ්‍යායක දිග සොයන්න.

විසඳුම:

1. දළ සටහනක් ඇඳීම:

• O කේන්ද්‍රය ලෙසත්, AB ජ්‍යාය ලෙසත් ගනිමු.

• කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට ඇති ලම්බ දුර OX වේ. OX = 6 cm.

• අරය OA අඳිමු. OA = 10 cm.

1. සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණය හඳුනාගැනීම:

• OXA යනු සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයකි. (කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට ඇති දුර යනු ලම්බ දුරයි).

1. පයිතගරස් ප්‍රමේයය යෙදීම:

• OA² = OX² + AX²

• 10² = 6² + AX²

• 100 = 36 + AX²

1. ජ්‍යායෙන් අඩක දිග සෙවීම:

• AX² = 100 - 36 = 64

• AX = √64 = 8 cm

1. සම්පූර්ණ ජ්‍යායේ දිග සෙවීම:

• කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට අඳින ලම්බයෙන් ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය වන නිසා, AB = 2 × AX.

• AB = 2 × 8 cm = 16 cm

පිළිතුර: ජ්‍යායේ දිග 16 cm වේ.