3

හැඳින්වීම

සම්භාවිතාව යනු O/L ගණිත ප්‍රශ්න පත්‍රයේ I වන කොටසේ මෙන්ම, II වන කොටසේ A කොටසේදී ද ගැටලු පැමිණිය හැකි වැදගත් පාඩමකි. කොටු දැල් සහ රුක් සටහන් භාවිතයෙන් ගැටලු විසඳීමේ හැකියාව මෙහිදී ප්‍රධාන වශයෙන් පරීක්ෂා කෙරේ. මෙය තර්කානුකූලව විසඳිය හැකි, සිත්ගන්නා සුළු පාඩමක් වන අතර නිවැරදි ක්‍රමවේදය අනුගමනය කිරීමෙන් ඉහළ ලකුණු ලබාගත හැක.

කෙටි සටහන් (Short Notes)

1. මූලික සංකල්ප:

• සසම්භාවී පරීක්ෂණය: ප්‍රතිඵලය කුමක්දැයි නිශ්චිතව කිව නොහැකි පරීක්ෂණයකි.

• නියැදි අවකාශය (S): පරීක්ෂණයකදී සිදුවිය හැකි සියලුම ප්‍රතිඵල ඇතුළත් කුලකය.

• සිද්ධිය (A): නියැදි අවකාශයේ උපකුලකයකි.

• සම්භාවිතාව සෙවීමේ සූත්‍රය: P(A) = n(A) / n(S)

• n(A) = අපේක්ෂිත සිද්ධියට අදාළ ප්‍රතිඵල ගණන

• n(S) = නියැදි අවකාශයේ ඇති මුළු ප්‍රතිඵල ගණන

• සම්භාවිතාවේ පරාසය: ඕනෑම සිද්ධියක සම්භාවිතාව 0 සහ 1 අතර පවතී (0 ≤ P(A) ≤ 1).

2. සිද්ධි වර්ග සහ සම්බන්ධතා:

• අනුපූරක සිද්ධි: සිද්ධියක් සිදු නොවීම එහි අනුපූරක සිද්ධියයි (A').

• P(A') = 1 - P(A)

• ස්වායත්ත සිද්ධි: එක් සිද්ධියක් සිදුවීම, අනෙක් සිද්ධිය සිදුවීම කෙරෙහි බලපෑමක් ඇති නොකරයි.

• P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (A සහ B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව)

• අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර සිද්ධි: එකවර සිදුවිය නොහැකි සිද්ධි.

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (A හෝ B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව)

3. නිරූපණ ක්‍රම:

• කොටු දැල (Grid): එකවර සිදුවන සිද්ධි දෙකක (උදා: දාදු කැට දෙකක් දැමීම) සියලු ප්‍රතිඵල දැක්වීමට ඉතා පහසු ක්‍රමයකි.

• රුක් සටහන (Tree Diagram): එකකට පසු එකක් සිදුවන (අනුයාත) සිද්ධි නිරූපණය කිරීමට යොදාගනී.

මතක තබා ගත යුතු වැදගත් කරුණු (Important Points)

• ප්‍රතිස්ථාපනය සහිතව (With Replacement): පළමු වරට ගත් දෙය නැවත දමා දෙවන වරට ගැනීම. මෙහිදී දෙවන සිද්ධියේ සම්භාවිතාව පළමු සිද්ධිය මත රඳා නොපවතී.

• ප්‍රතිස්ථාපනය රහිතව (Without Replacement): පළමු වරට ගත් දෙය නැවත නොදමා දෙවන වරට ගැනීම. මෙහිදී දෙවන සිද්ධියේ සම්භාවිතාව පළමු සිද්ධිය මත රඳා පවතී (මුළු ගණන සහ අදාළ දේ ගණන වෙනස් වේ).

• රුක් සටහනක සම්භාවිතා:

• එකම ලක්ෂ්‍යයකින් විහිදෙන අතුවල සම්භාවිතාවන්ගේ එකතුව සැමවිටම 1 විය යුතුය.

• අනුයාත සිද්ධි සඳහා, අතු දිගේ සම්භාවිතා ගුණ කළ යුතුය.

• විවිධ ප්‍රතිඵල කිහිපයක් ගැටලුවේ කොන්දේසිය සපුරාලන්නේ නම්, එම එක් එක් ප්‍රතිඵලයේ සම්භාවිතාව සොයා ඒවා එකතු කළ යුතුය.

විභාග උපක්‍රම (Tips & Tricks)

• නිවැරදි නිරූපණය තෝරාගැනීම:

• කොටු දැල: දාදු කැට දෙකක්, කාසි දෙකක්, කාසියක් සහ දාදු කැටයක් වැනි අවස්ථා සඳහා වඩාත් සුදුසුය.

• රුක් සටහන: මල්ලකින් බෝල දෙකක් ගැනීම, පුද්ගලයන් දෙදෙනෙකුගේ තීරණ වැනි අනුයාත සිද්ධි සඳහා වඩාත් සුදුසුය.

• "අවම වශයෙන් එකක්වත්": "අවම වශයෙන් එකක්වත් රතු බෝලයක් වීම" වැනි ගැටලුවක් ඇසූ විට, එහි අනුපූරක සිද්ධිය ("දෙකම රතු නොවීම") සලකා, 1 න් එම සම්භාවිතාව අඩු කිරීම බොහෝවිට පහසුය.

• P(අවම වශයෙන් එකක් රතු) = 1 - P(දෙකම රතු නොවේ)

• පැහැදිලිව ඇඳීම: රුක් සටහන හෝ කොටු දැල පැහැදිලිව, විශාලව ඇඳ, එක් එක් කොටසට අදාළ සිද්ධිය සහ සම්භාවිතාව නිවැරදිව ලකුණු කරන්න.

නිදසුන් ගැටලුව (Example Problem)

ගැටලුව: මල්ලක රතු බෝල 3ක් සහ නිල් බෝල 2ක් ඇත. ප්‍රතිස්ථාපනය රහිතව එකකට පසු එකක් බෝල දෙකක් ඉවතට ගනී. (i) මෙම පරීක්ෂණයේ නියැදි අවකාශය රුක් සටහනක දක්වන්න. (ii) ගත් බෝල දෙකම රතු පැහැති වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න. (iii) ගත් බෝල දෙක විවිධ වර්ණවලින් යුක්ත වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

විසඳුම:

(i) රුක් සටහන:

• මුලින් බෝල 5ක් ඇත (රතු 3, නිල් 2).

• දෙවන වරට ගන්නා විට බෝල 4ක් ඉතිරි වේ.

(ii) දෙකම රතු වීමේ සම්භාවිතාව (RR):

• රුක් සටහනේ RR අත්ත දිගේ සම්භාවිතා ගුණ කරන්න.

• P(RR) = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10

(iii) විවිධ වර්ණ වීමේ සම්භාවිතාව (RN හෝ NR):

• මෙය සිදුවිය හැකි ආකාර දෙකකි: පළමුවැන්න රතු, දෙවැන්න නිල් (RN) හෝ පළමුවැන්න නිල්, දෙවැන්න රතු (NR).

• P(RN) = (3/5) × (2/4) = 6/20

• P(NR) = (2/5) × (3/4) = 6/20

• P(විවිධ වර්ණ) = P(RN) + P(NR) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5

පිළිතුරු: (ii) 3/10 (iii) 3/5